日历

2025 - 6
日 一 二 三 四 五 六
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
2930     
«月» 2025 - 6 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 8^?!GN]e  
<^DD7[!&  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. P&UphyV/  
hG'~ &  
　　1、三角函数本质： WkOd A>  
0- BLS$  
　　三角函数的本质来源于定义 3S;@5uX.  
ua>+t#8  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 T}'J'hmBz  
J*>q9k  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 }+P$aQpm_  
)_PF=]Hk  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： M|1jDs(\(  
7'4o]D$0  
　　推导： HucS#qC  
xw2s},l  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 f#zL]mf  
dcf{NMK5-5  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) oe3UsTt,  
j>2LFut  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 8tIA+s{[^  
Kp,}n(b  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 +Ee~;u  
2C5_c#T>  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） %j37){dSB  
}{)GL8l  
　　[1] fto|I#\  
xGVt  
　　两角和公式 @~?XRLba  
Bm<; 74  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB |{ 5dD`qe  
+v]rJbv1x  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  =8Mfv  
*WM7Gjc"  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB }c4(>+p[  
8W7DdXp;D  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB peE}e!*  
vUY >Uh  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) !XCJG+$  
~Y*ME;I6  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) B; zY*Z  
|LU4S1k  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  J{`f`m,^  
z=&HQtN9t  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Wj# Hqv  
Y(kB~=1[-  
倍角公式 3$b j]  
0{knkwM:  
　　Sin2A=2SinA•CosA : wIeWh}  
CwNx4ot  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 /%b>  
Wb,bP,^  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 0(HR2G  
m[M $g$A  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Scd7Fq  
/,2raE6j%  
三倍角公式 Q^~#55%  
j2D%#l/+  
　　 $X *ehA\  
[k&"G\5  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 0`U <FX6  
;=QC.  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) `mw~6Lo  
 B?[eh{TE  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) n:$=uMg$G  
c3B:&_CS  
三倍角公式推导 \, p@bUY  
7~^OQ+5j  
　　sin3a P|^GN0[~3/  
p6*nC^5  
　　=sin(2a+a) %@QTJl$\  
i|??v]T  
　　=sin2acosa+cos2asina >OFE'sk7  
BF:ow_AhE  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina kM k_i|MD  
e8L;<FJ  
　　=3sina-4sin³a ~:H@PDEYn  
S'Z{4 $w  
　　cos3a YYD!g/Kk'H  
!@7:ext?  
　　=cos(2a+a) U0^SK(2x  
1w$fb  
　　=cos2acosa-sin2asina |%>~j>$X  
<sJ 6@G*  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa .WZ>)>Jc|X  
6+jzDP[R  
　　=4cos³a-3cosa dPL K[F  
Hin3qk#E2d  
　　sin3a=3sina-4sin³a LNgLXIrZ  
ACRX 4  
　　=4sina(3/4-sin²a) K^[F35K<!  
Py}\s#'0  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] PKjHN\MI  
is&8=t;  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) jC"q-`A/Y  
F, %Ad?  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 1Mf1>9&L=  
%xL" L/Ai  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] `T@& 0<*W  
0u9w\6dyIy  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) U3N"D{B;ZD  
T*=L7uv3  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 6b0_I?;/  
{BMX6 |C'  
　　=4cosa(cos²a-3/4) hAi],P  
'GDqy}  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] %~zpJBf9%  
D{;jt:d})  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) }x`7hG  
+eO8 N'!  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) i c' 8  
.q_#} LR  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Hpma[8E[Rx  
|,9n$%?H  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) (m+6"i}/R  
E\': 5xMV=  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] v?q@(}S  
$/t]B^ZE{  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ;s8O$+nr  
"'W M/"y  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) IQ9T dP  
o:fwX ^3  
　　上述两式相比可得 !mb}J'd l0  
T'.P/Q=p  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) /.@9Nqf]  
!A|-d+G~9  
半角公式 V?\Nj/i~F  
?8_?&Mj  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 6hlK.R  
pfbs+}UE9  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. P{nd),As  
\vTt$q  
和差化积 !0WA/Au:C  
~TW[6;Bfa  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] NLV(~e.  
RqZhWLe  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] /"<,& ="  
j{<z,qxf,l  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] i~4md vr  
/R{E;F>!H  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] OX:[@f5b  
;x 8f A"  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ^Fo 7,},  
cp"/L$  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)  bSVQ](  
V YmZ&B  
积化和差 @U>'4  
Se |6Y_k+-  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Q 'po jX  
*q @y ?s  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] M6^jw &3  
fLRT$6\*  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 4LSKmax  
f%A\zfKw  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] N,nsI"  
_W@(`RhN'  
诱导公式 ~h:b!}/M  
JyT"c~C  
　　sin(-α) = -sinα x{4DSz  
$QwB *  
　　cos(-α) = cosα  vm.M%MX  
Vn9 --xK5  
　　sin(π/2-α) = cosα Nf,dz@ 4?  
l(0o&*#l  
　　cos(π/2-α) = sinα o=I5<fAZ  
N!;#ph&D  
　　sin(π/2+α) = cosα 5z ([i/6M@  
qFW., ht  
　　cos(π/2+α) = -sinα um AD  
k|VHR</A  
　　sin(π-α) = sinα 1#MRrEqg  
U'v$z^2  
　　cos(π-α) = -cosα ?`d  
1# =&TP>  
　　sin(π+α) = -sinα / ME?e'   
gQi?(Z1t!  
　　cos(π+α) = -cosα vn8>T=#9  
f: <>;Lf`  
　　tanA= sinA/cosA E-A4'Kz  
\OYe i  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 4}CrQ@w/m#  
i\Z&I  
　　tan（π/2－α）＝cotα C!b"UZyVS^  
ykwP~  
　　tan（π－α）＝－tanα Vu+*6|B(M  
}lcEbs2=  
　　tan（π＋α）＝tanα 65 4y+p  
#/o(wDI1A  
万能公式 ?| E3  
g,"'#scI  
　　 HM'{j?F IP  
o qz2)4  
其它公式 ;p#U\J;  
4/!_0X  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ^2sW+@e  
ztIb:T@xq  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 Y/t=mU g+  
9]%w4H  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 bc`:~g  
VSkW)#^6  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 4YBG6IiD-  
=JR4@1~sA  
　　对于任意非直角三角形,总有 ~;#{Z  
YXjFA|  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC :(m* xe  
0 i+A{wMh  
　　证: ?o ~^x  
BN G 0Sd  
　　A+B=π-C ,pXdR4 u  
%6^pm  
　　tan(A+B)=tan(π-C) @:jb4-x@  
|3^KG'{q  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) KJBc*Zo  
)'4Aa8-YO  
　　整理可得 -NwVp[}@$  
V2[YO.~Mb  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC zg@xPuK>  
jM62ZdX &  
　　得证 &+w9*3y  
{oj v7  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 |=\jHu3/  
q A. %>,s-  
其他非重点三角函数 Uf N $>D  
mD`g,[Y'7  
　　csc(a) = 1/sin(a) LN@- uJ  
6c^ U(RN  
　　sec(a) = 1/cos(a) UPCcEv  
!51em/ B&  
　　 b^_Xxe07  
yLPrK gg  
双曲函数 <3_m$ uiS  
_ `cq|%\  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 F ~C!UZgt  
r8.X :E  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2  6@ 7  
D,)0oM3'o  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) a.q B4eQ  
$Hh4L.o  
　　公式一： 4XCG E)2  
@`g<y?-  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 3LV;LxFNm  
:Rikx{'  
　　sin（2kπ＋α）= sinα f) 7h;bo(7  
5b 2mb|a:  
　　cos（2kπ＋α）= cosα qOo=;b  
9 ]_GA]Y  
　　tan（kπ＋α）= tanα eEn*`L>K  
/_GZP3  
　　cot（kπ＋α）= cotα w,g)%&  
}1@ O%MR  
　　公式二： ]_\ga~hy  
^2bs  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： kCpg2%{ W  
mNo'dp  
　　sin（π＋α）= -sinα jbK+3{| >  
WFRyY6A  
　　cos（π＋α）= -cosα ohRc`  
rF-HZR  
　　tan（π＋α）= tanα -e%Y mJ"  
^{ {sOH^(F  
　　cot（π＋α）= cotα Xm$sgk+  
r duk  
　　公式三： =Mt`.Rq_  
swS6D,@)  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： #Nj b%YY  
<} OQV.T%  
　　sin（-α）= -sinα uBx*e   
!a=ZPW2  
　　cos（-α）= cosα ")097 -J  
y_n~" 1  
　　tan（-α）= -tanα (+P>@  
;E;W !I{  
　　cot（-α）= -cotα @UA3@>Z  
Kixhz[  
　　公式四： I&yb`bd,d  
P&+04W>m3  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： W39L+2VG  
MYkWV9  
　　sin（π-α）= sinα h'u*Zl~p/y  
\))AQ;'  
　　cos（π-α）= -cosα N)-IWepD/  
(s~7_KY9  
　　tan（π-α）= -tanα >-H_zHrDn  
~Hu an1/BT  
　　cot（π-α）= -cotα \Fzuce  
Dx,K]  
　　公式五： PWF>^^ pC  
GQ&5.-TT  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 2NgJ8)  
!Bxr#  
　　sin（2π-α）= -sinα .T$p{%ag6  
rc&L)h?Y  
　　cos（2π-α）= cosα J\6i4"  
9.( ?S  
　　tan（2π-α）= -tanα }a!nuHVnY  
6\93  
　　cot（2π-α）= -cotα SbkZw'Il#8  
4!d}rL[Me  
　　公式六： Uh">[>5j@  
kXMs{zzW  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： RB E Adr  
Ln#95Vn  
　　sin（π/2+α）= cosα o+IVF?  
Q>yl>V8^C  
　　cos（π/2+α）= -sinα J=ge+|'@  
P@ylq 6  
　　tan（π/2+α）= -cotα v$ 5O/ixa  
<,hQ,9[  
　　cot（π/2+α）= -tanα ru(WZ  
=XJFGB  
　　sin（π/2-α）= cosα Dd'eaBz  
>i<FXQq])  
　　cos（π/2-α）= sinα \-PWR'h  
{mdS^P({B  
　　tan（π/2-α）= cotα xb'PZLqL  
)I,)J  
　　cot（π/2-α）= tanα _m%LON,  
.sq N)\  
　　sin（3π/2+α）= -cosα _^aR]r#1R0  
 F,zb ul  
　　cos（3π/2+α）= sinα Y,T&opK*  
<_-]Y1p9ho  
　　tan（3π/2+α）= -cotα RKm, _{  
B:OE576S  
　　cot（3π/2+α）= -tanα SspaP>&1/3  
9q`/aJZn  
　　sin（3π/2-α）= -cosα njB Gl w  
Gah |L  
　　cos（3π/2-α）= -sinα (Z!i>]b  
S-y'z0QC[c  
　　tan（3π/2-α）= cotα Yu0iu|3_  
SNWf3YBX  
　　cot（3π/2-α）= tanα Bd" I@FW1  
~W0[P#J  
　　(以上k∈Z) atoX )21  
`N;>a\  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 b,Pi~K  
clc >v2=o  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = AaNAe *Y  
&DZi3$I  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } U <40-O}  
fKF< 5lu'}  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(16471) |  收藏