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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 M>*_ 7|<  
pO.nB9Ig  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. &Ib2'y{i'  
\pct o"H  
　　1、三角函数本质： o.E,8>oy  
rV\QQZpqX  
　　三角函数的本质来源于定义 6qw.;  
K~,7 MhT  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 *a\ (vD  
=k5c ]"  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 }=Y?]M)  
e<Wz%-+-  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： `+$_7K*p  
:]c\hSad  
　　推导： YP-*|eyE}  
hk~FC\/ZW  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 e(%/%(S3x  
q7f'Rj}  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) bhY=}D:OvQ  
LlU^Y7m  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) # IxKp  
I]y(;"9  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 |{|svKZv&  
iVy{VJ.z{  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 7f1W w}I4  
=6!S2MZO  
　　[1] B="iL8V  
m &DR1  
　　两角和公式 yEs;MDWF]B  
b#um V  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB EP W:s(eh  
Vb?V8 uW  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB   GYR G  
0>8>TQ"5s  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB pVC6TZ  
33(~mUA  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB c LW."nZ  
KY1C+  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) TG::;V sa  
Gs7Z9(  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) z:B+fZ J\  
40ik8ty  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  i?G*>WSc  
z8>+.w'R  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) XnMx}& d  
F#6jJmE(  
倍角公式 /YoK PMl;  
*/fS\K  
　　Sin2A=2SinA•CosA @ w-iic   
lG. .)  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 Tv[@CWT  
R6N1M6OT  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 5Qae,r{Q  
G8tY= O  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 0j mgXs  
}mo!=Au  
三倍角公式 *eY!iaP  
tG(^ID-\  
　　 RIx{!! G  
:F Dgq{O  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) b R:&+j  
Jt,s&BzL  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 2 Ju0~  
0{$}4\xlR  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) Ely\<_  
:uiFK  
三倍角公式推导 qD#o>GK<3  
.`&LxmU!/  
　　sin3a PD\T kAoZ  
*U%c|z4=&  
　　=sin(2a+a) j~,lfl@S  
e4) # oS  
　　=sin2acosa+cos2asina : k|D6y  
3n YgkH  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina i ;G] |F  
$AKeY4p"S  
　　=3sina-4sin³a E{36 a  
\yiNck  
　　cos3a *>f=o7T  
uT_-1za5  
　　=cos(2a+a) !V{#,J h  
@:<prAe  
　　=cos2acosa-sin2asina $g@[8|'P  
U}BpD 6OC  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 2$\E#* ;  
x{q8 h4qIF  
　　=4cos³a-3cosa AAq=0;R  
hZI!q=8Pf  
　　sin3a=3sina-4sin³a D8?j+w [  
v` &^B$Q  
　　=4sina(3/4-sin²a) /HBq{yy  
N*_}i+3N2  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] kc ^r 3o  
 m%w%`RY  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Gl$bp?  
;& G>,/L  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) )eiV 8~  
]`2E.  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 7WU` mc 1y  
8XS' -`}  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) d vp?tEv-G  
0"ZFV!0W  
　　cos3a=4cos³a-3cosa .f>}L<j7  
Y|#0-.M}  
　　=4cosa(cos²a-3/4) s=@Q]C  
#$|N1t<  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] SJgAl  
UQ\@0)0H:  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 7-ggob  
9cc ezK  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Zv1: @2  
\d*qY23   
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 8UD}}De M4  
(=uz3FLl-  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) :j`r_|dk  
B0TKNq|  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] $:qB8 Yq  
:aXp0"  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] T<dER -O  
Pw88sP%e  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) . tpA mV  
G'2p%6Ud$  
　　上述两式相比可得 L|/$pjD ,  
BTa<>3f_h  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) By Y<<7N  
kt@;uD`  
半角公式 hOj!K-~"W  
N doo0[E$[  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); @Xf[ <ML  
 0(;2]  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. >n@1JZn?~  
6!kE?3.  
和差化积 .) b:3u  
bT[Zw2 tb  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] i=Wtx!OrX  
vDd=@A  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] e)UmX 5@_  
;v [KbW  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] $VxI(uKux  
Wlt>BJw  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] w 0>y+d}  
p{&]'_"  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) U~Tu77  
`7^ZX k) r  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) @*own7  
n;+>9f L  
积化和差 8(#YMYKY_  
-bJgq(.8a~  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 5eN} i9r  
lCpSw@  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] \-$V7*  
*A%TQ  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] km-_WV!4  
]5ya-J\*kB  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 5KMUHN}3  
czNk'h6y  
诱导公式 vNWEhq  
bnC'6XN2  
　　sin(-α) = -sinα bOV oF aB  
c`$z  
　　cos(-α) = cosα LP$' cQN  
I j"u  
　　sin(π/2-α) = cosα I*DhJ )h%  
\4TQ 0l;+D  
　　cos(π/2-α) = sinα mWz_4lT:  
o+G s`k^hg  
　　sin(π/2+α) = cosα {O9Ij#2}  
 e^EB  
　　cos(π/2+α) = -sinα |m];F[   
m2+$2.Zf  
　　sin(π-α) = sinα @C ~l0oN  
I'V2a.Y  
　　cos(π-α) = -cosα uK@Adn  
=@ZJ4LE%p,  
　　sin(π+α) = -sinα [oR.M_=S  
tBb.LPCTz  
　　cos(π+α) = -cosα gn/lb*#Xo  
w"QraR'b  
　　tanA= sinA/cosA e\hwA6E   
?U`&By0/y  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα [d5N(+ h|  
=CUQbC3V|  
　　tan（π/2－α）＝cotα OypH ;c}  
Zu3~MY  
　　tan（π－α）＝－tanα 7z|,Jq<  
)9AV9:"n  
　　tan（π＋α）＝tanα z}M- ho  
h~CP{0&  
万能公式 wUKXE 6x  
`mp{ &BC  
　　 B1i)Uhn  
}. 2}[\  
其它公式 czc(nhU/+  
S`e3|X"  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 5SWw"db1A  
d-[} ^nO  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 /Yp(  
oqp7m#  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ei! x0\t  
!A.a0zC  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 \tT# b|  
[aUCK)"L  
　　对于任意非直角三角形,总有 }(7{ [7d7  
~d~Fimm  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC YRwo SKA  
Q14J;gl  
　　证: 371IO]q  
?BMH&mo2  
　　A+B=π-C CB{1Nz/xG  
`N:.ojk.  
　　tan(A+B)=tan(π-C) tZaXQ!-$  
s01S1$;b?  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) <0IXNl|  
qIHE$Mth  
　　整理可得 ztq U1H=r  
0 t}03q  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC fvto MH)M  
%j()*_  
　　得证 B8\@uRwv  
0xc`m #g  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 5oKi8*]k")  
*$1}ydr  
其他非重点三角函数 VX8o b1  
.4xnFI]i  
　　csc(a) = 1/sin(a) 7^Q8&E-B  
"jLiDE$]  
　　sec(a) = 1/cos(a) w@`>yk  
+ 5ifLI  
　　 (4!>*h9Q  
gH}B<~Q1  
双曲函数 +MMCX  
/u7_Gh&d h  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 |Sq7&I2  
_aTb1pk}  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 0Q;JK0 K  
)[X5XB  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) {!e BiWI  
Z5^ 0H  
　　公式一： oQJZQXuPiZ  
1tDZ@y4x  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： CmS=9e-0m  
/,0UC(BV4  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 6'.k[=UB  
@ Ax% v8  
　　cos（2kπ＋α）= cosα "P O9&D=i  
'hZ.7Al  
　　tan（kπ＋α）= tanα 8"Ko 6{2  
0hNNDg76  
　　cot（kπ＋α）= cotα v0EUW J  
#1@ RM  
　　公式二： Iy'0~IvB  
iTd%-,  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Q**iZ >  
o?/z5w Zd  
　　sin（π＋α）= -sinα HA8%'_  
f{ORWJ4u  
　　cos（π＋α）= -cosα qE6:;9Cw  
>>+E=0 r  
　　tan（π＋α）= tanα }o&W1  
H0 2T  
　　cot（π＋α）= cotα (A%vO2^  
B*15@H-m  
　　公式三： (:_ o}  
15Bo`wZ  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： >-aT([  
CP>7?H#  
　　sin（-α）= -sinα OJ+e` J,,  
E}8!rQ+0  
　　cos（-α）= cosα . 3^&>F-  
d`3[x  
　　tan（-α）= -tanα LtA^3uQ"  
Q!U6t4o7d%  
　　cot（-α）= -cotα Vqj j<2&u  
b7Y0{W)  
　　公式四： scM"8?0l#  
!;gh}jT  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： saP~o7M/  
D1;)?PT9  
　　sin（π-α）= sinα vd^a}b~w  
$QxMW~  
　　cos（π-α）= -cosα r2J!M,WIq  
VTg%]*  
　　tan（π-α）= -tanα ;vCY  
<-&VmWLc  
　　cot（π-α）= -cotα [5KGqM:(G  
kdZ(VWU\  
　　公式五： 5d>40SOAu}  
cM9c>?)=  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： -h#13giy  
{w"ns !  
　　sin（2π-α）= -sinα zY*g{_{wX  
l7SpW:U  
　　cos（2π-α）= cosα m@M>#Rd  
hh<WOjsnu  
　　tan（2π-α）= -tanα e~F Q\U6  
[so'&3  
　　cot（2π-α）= -cotα Ua 8 Y%t  
IcY <5mlH  
　　公式六： 3!VP,   
.P;p[5(  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： w@ Y<g\.n  
1]\bT`*/5p  
　　sin（π/2+α）= cosα sb2p%g @K  
o-.XY!  
　　cos（π/2+α）= -sinα /8<UDPEP}  
r MrKVUK  
　　tan（π/2+α）= -cotα b 2d{|Jk  
|NO X'D8QU  
　　cot（π/2+α）= -tanα 3*nz!u3+<  
VvZLG  
　　sin（π/2-α）= cosα H|V4J!' -  
&h\X,'oE1  
　　cos（π/2-α）= sinα fo8+JpW  
Rg 6QNY!Sz  
　　tan（π/2-α）= cotα \^?(@(su  
Prhfr   
　　cot（π/2-α）= tanα cPRa^v  
@v?6A~1\  
　　sin（3π/2+α）= -cosα `zyBj{@3Yn  
9`^:8i{x  
　　cos（3π/2+α）= sinα v 6TL  
" /ZG3"/  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ([q<Tro@  
 m(m(6/  
　　cot（3π/2+α）= -tanα @P `aF  
c-( 8v03  
　　sin（3π/2-α）= -cosα UZB2,O~ K  
=z[oMwxhm  
　　cos（3π/2-α）= -sinα }m=2^e)P  
bgZg%')#&  
　　tan（3π/2-α）= cotα wNQ K~.4  
Ri.1 0 8[u  
　　cot（3π/2-α）= tanα LOZ{+N0R  
\4:O]  
　　(以上k∈Z) y ,Iz |i  
)vl.rg  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 3^;]zl  
1-BQ :Q"n\  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 6H^&\D S1  
Tn~&9e  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ' 1R$ RL  
gERDH}$,  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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